Question

已知函数f（x）=

x-1

ex

（x∈R）
（1）求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）已知函数y=g（x）对任意x满足g（x）=f（4-x），证明：当x＞2时，f（x）＞g（x）；
（3）如果x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），证明：x₁+x₂＞4．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的极值

专题：导数的概念及应用

分析：（1）利用导数与函数单调性的关系求得即可；
（2）构造函数h（x）=f（x）-g（x），利用导数判断且单调性得h（x）在（2，+∞）上是增函数，故h（x）＞h（2）=0，即可得证；
（3）利用（1）（2）的结论即可得出结论．

解答： 解：f（x）=

x-1

ex

（x∈R）
（1）f'（x）=

ex-(x-1)ex

e2x

=

2-x

ex

∴x＜2时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；x＞2时f'（x）＜0，f（x）单调递减．
∴f（x）的极大值=f（2）=

1

e2

．
（2）设h（x）=f（x）-g（x）=

x-1

ex

-

3-x

e4-x

，
则h'（x）=

2-x

ex

+

x-2

e4-x

=

(x-2)(ex-e4-x)

e4

，
当x＞2时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，
∴h（x）＞h（2）=0，
∴f（x）＞g（x）．
（3）由（1），不妨设x₁＜2＜x₂，则4-x₂＜2，
∴由（2）得f（x₁）=f（x₂）＞f（4-x₂），
又由（1）得，x＜2时，f（x）单调递增，
∴x₁＞4-x₂，
∴x₁+x₂＞4．

点评：本题主要考查利用导数求函数的单调区间及极值最值的知识，以及通过构造函数证明不等式成立问题，属难题．