Question

为了解当前国内青少年网瘾的状况，探索青少年网瘾的成因，中国青少年网络协会调查了26个省会城市的青少年上网情况，并在已调查的青少年中随机挑选了100名青少年的上网时间作参考，得到如下的统计表格．平均每天上网时间超过2个小时可视为“网瘾”患者．

时间（单位：小时）	[0，1]	（1，2]	（2，3]	（3，4]	（4，5]	（5，6]	（6，12]
人数	52	23	10	5	4	4	2

（Ⅰ）以该100名青少年来估计中国青少年的上网情况，则在中国随机挑选3名青少年，求至少有一人是“网瘾”患者的概率；
（Ⅱ）以该100名青少年来估计中国青少年的上网情况，则在中国随机挑选4名青少，记X为“网瘾”患者的人数，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,互斥事件与对立事件,相互独立事件的概率乘法公式

专题：计算题,概率与统计

分析：（Ⅰ）利用对立事件的概率公式，即可求至少有一人是“网瘾”患者的概率；
（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4，求出相应的概率，可得X的分布列和数学期望．

解答： 解：由题意得，该100名青少年中有25个是“网瘾”患者．
（Ⅰ）设A_i（0≤i≤3）表示“所挑选的3名青少年有i个青少年是网瘾患者”，“至少有一人是网瘾患者”记为事件A，
则P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=1-P(A0)=1-(

75

100

)3=

37

64

．…（4分）
（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4，则
P（X=0）=(

3

4

)4=

81

256

，P（X=1）=

C

1 4

(

3

4

)3(

1

4

)=

27

64

，P（X=2）=

C

2 4

(

3

4

)2(

1

4

)2=

27

128

，
P（X=3）=

C

3 4

(

3

4

)(

1

4

)3=

3

64

，P（X=4）=

C

4 4

(

1

4

)4=

1

256

．…（10分）
X的分布列为

X	0	1	2	3	4
P	81 256	27 64	27 128	3 64	1 256

则E(X)=0×

81

256

+1×

27

64

+2×

27

128

+3×

3

64

+4×

1

256

=1．…（12分）

点评：本题考查对立事件的概率公式，考查离散型随机变量的分布列和期望，确定变量的取值，求出相应的概率是关键．