Question

【题目】如图，在底面为梯形的四棱锥S﹣ABCD中，已知AD∥BC，∠ASC=60°，∠BAD=135°，AD=DC= ，SA=SC=SD=2，O为AC中点．

（1）求证：SO⊥平面ABCD；
（2）求二面角A﹣SB﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵在△ASC中，SA=SC，∠ASC= ，O为AC中点，

∴△ASC为正三角形，且AC=2，OS= ，

∵在△ADC中，DA2+DC2=4=AC2，O为AC中点，

∴ ，且OD=1，

∵在△SOD中，OS2+OD2=SD2，

∴△SOD为直角三角形，且 ，

∴SO⊥OD，

又∵SO⊥AC，且AC∩OD=O，

∴SO⊥平面ABCD．

（2）解：如图，设直线DO与BC交于点E，则OE、OC、OS两两垂直，

以O为原点，分别以OE，OC，OS所成直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

由（1）知∠DAC=45°，且∠BAD=135°，

∴∠BAC=90°，∴AB∥x轴，

又∵在△ABC中，AB=2，

∴A（0，﹣1，0），B（2，﹣1，0），C（0，1，0），S（0，0， ），

=（2，0，0）， =（0，1， ）， =（2，﹣1，﹣ ）， =（0，1，﹣ ），

设平面ABS的一个法向量 =（x，y，z），

则 ，令z=﹣1，得 =（0， ，﹣1），| |=2，

设平面SBC的法向量 =（a，b，c），

则 ，取a= ，得 =（ ），

cos＜ ＞= = = ，

∴二面角A﹣SB﹣C的余弦值是 ．

【解析】（1）推导出△ASC为正三角形，且AC=2，OS= ， ，且OD=1，SO⊥OD，由此能证明SO⊥平面ABCD．（2）以O为原点，分别以OE，OC，OS所成直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出二面角A﹣SB﹣C的余弦值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的判定的相关知识，掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．