Question

【题目】已知各项均为正数的数列{an}的首项a1=1，sn是数列{an}的前n项和，且满足：
anSn+1﹣an+1Sn+an﹣an+1=λanan+1（λ≠0，n∈N ）
（1）若a1 ， a2 ， a3成等比数列，求实数λ的值；
（2）若λ= ，求Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a1，a2，a3成等比数列，可设公比为q，则a2=q，a3=q2．

∵anSn+1﹣an+1Sn+an﹣an+1=λanan+1（λ≠0，n∈N ），

∴当n=1时，a1S2﹣a2S1+a1﹣a2=λa1a2，即（1+q）﹣q+1﹣q=λq，化为2﹣q=λq，

当n=2时，a2S3﹣a3S2+a2﹣a3=λa2a3，化为：2﹣q=λq2，

联立解得λ=q=1．

∴λ=1．

（2）解：λ= ，则anSn+1﹣an+1Sn+an﹣an+1= anan+1，

∵Sn+1=Sn+an+1，

∴（an﹣an+1）Sn+ +an﹣an+1=0．

化为Sn+ +1=0，

∵a1=1，令n=1，则1+ +1=0，解得a2= ，

同理可得a3= ．

猜想 ．

下面利用数学归纳法证明：

①当n=1时，a1= =1，成立；

②假设当n≤k（k∈N*）时成立， ，则Sk= = ．

∵Sk+ +1=0，

∴ + +1=0，

解得ak+1= ．

因此当n=k+1时也成立，

综上可得：对于n∈N* 都成立．

由等差数列的前n项和公式可得：Sn= ．

可得an+1= ，Sn= = ，Sn+1= ．

代入anSn+1﹣an+1Sn+an﹣an+1= anan+1，验证成立．

∴Sn= ．

【解析】（1）由于a1 ， a2 ， a3成等比数列，可设公比为q，则a2=q，a3=q2 ． 由anSn+1﹣an+1Sn+an﹣an+1=λanan+1（λ≠0，n∈N ），分别令n=1，2，即可得出．（2）λ= ，则anSn+1﹣an+1Sn+an﹣an+1= anan+1 ， 化为Sn+ +1=0，由a1=1，a2= ，a3= ．猜想 ．再利用数学归纳法证明即可得出．
【考点精析】掌握数列的前n项和是解答本题的根本，需要知道数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．