题目内容
【题目】太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：能够将圆
的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆
的一个“太极函数”，则下列有关说法中：
①对于圆
的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数；
②函数
是圆
的一个太极函数；
③存在圆
，使得
是圆
的一个太极函数；
④直线
所对应的函数一定是圆
的太极函数；
⑤若函数
是圆
的太极函数，则
所有正确的是__________．
【答案】②④⑤
【解析】对①显然错误,如图
对②,点(0,1)均为两曲线的对称中心,且f(x)=sinx+1能把圆一分为二,正确
对③,函数为奇函数
,当x→0(x>0)时，
f(x)→+∞，
当x→+∞时,f(x)→1,[f(x)>1]，函数递减；
当x→0(x<0)时,f(x)→∞，
当x→∞时,f(x)→1,[f(x)<1]，
函数f(x)关于(0,0)中心对称，有三条渐近线y=±1，x=0，
可知，函数的对称中心为间断点，故不存在圆使得满足题干条件
对于④直线(m+1)x(2m+1)y1=0恒过定点(2,1)，满足题意。
对于⑤函数
为奇函数,与圆的交点恒坐标为(1,1)，
∴
且
，
∴
，
令
,得
得t=1即x=±1；
对
,当k=0时显然无解,△<0即0<k2<4时也无解，
即k∈(2,2)时两曲线仅有两个交点，函数能把圆一分为二，且周长和面积均等分。
若k=±2时，函数图象与圆有4个交点，
若k2>4时，函数图象与圆有6个交点，均不能把圆一分为二。
故所有正确的是②④⑤
故答案为：②④⑤
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