Question

【题目】设函数f （x）=（x+1）lnx﹣a （x﹣1）在x=e处的切线与y轴相交于点（0，2﹣e）．
（1）求a的值；
（2）函数f （x）能否在x=1处取得极值？若能取得，求此极值；若不能，请说明理由．
（3）当1＜x＜2时，试比较 与 大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=lnx+ +1﹣a，

依题设得 =f′（e），即

e+1﹣a（e﹣1）﹣（2﹣e）=e ，

解得a=2

（2）解：函数f （x）不能在x=1处取得极值．

因为f′（x）=lnx+ ﹣1，记g（x）=ln x+ ﹣1，则g′（x）= ．

①当x＞1时，g′（x）＞0，所以g（x）在（1，+∞）是增函数，

所以g（x）＞g（1）=0，所以f′（x）＞0；

②当0＜x＜1时，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，1）是减函数，

所以g（x）＞g（1）=0，即有f′（x）＞0．

由①②得f （x）在（0，+∞）上是增函数，

所以x=1不是函数f （x）极值点．

（3）解：当1＜x＜2时， ＞ ﹣ ．

证明如下：由（2）得f （x）在（1，+∞）为增函数，

所以当x＞1时，f（x）＞f （1）=0．

即（x+1）lnx＞2（x﹣1），所以 ＜ ．①

因为1＜x＜2，所以0＜2﹣x＜1， ＞1，所以 ＜ = ，

即﹣ ＜ ．②

①+②得 ﹣ ＜ + =

【解析】