Question

【题目】已知函数f（x）=1﹣ax+lnx，（x＞0），函数g（x）满足g（x）=x﹣1，（x∈R）．
（1）若函数f（x）在x=1时存在极值，求a的值；
（2）在（1）的条件下，当x＞1时，blnx＜ ，求实数b的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=1﹣ax+lnx，（x＞0），

∴ ，由f′（1）=0，得a=1，

此时f（x）在（0，1）为增函数，在（1，+∞）为减函数，

所以f（x）在x=1时存在极大值．所以a=1

（2）解：当b≥0，x＞1时，blnx≥0，

当x＞1时，由（1）知，f（x）＜f（1）=0，g（x）＞0，

所以 ，blnx＜ ，不成立．

故b＜0，此时，当x＞1时，blnx＜ 可转化为：（bx﹣b﹣1）lnx+x﹣1＜0，

令g1（x）=（bx﹣b﹣1）lnx+x﹣1，则 ，

令 ，则 = ，

①若﹣ ，当x∈（1，﹣ ）时， ，得 =0，

所以g1（x）为（1，﹣ ）上的增函数，故存在x0∈（1，﹣ ），使g1（x）＞g1（1）=0，

与g1（x）＜0相矛盾，故﹣ 时，不能使blnx＜ ，成立；

②若b≤﹣ ，当x＞1时，x+1+ ＞0，即 ，得 ，

∴g1（x）为（1，+∞）上的减函数，故g1（x）＜g1（1）=0

∴blnx＜ 成立．

综上所述，实数b的取值范围是（﹣∞，﹣ ]

【解析】（1）求出 ，由f′（1）=0及函数f（x）在x=1时存在极值，能求出a．（2）推导出b＜0，此时，当x＞1时，blnx＜ 可转化为（bx﹣b﹣1）lnx+x﹣1＜0，令g1（x）=（bx﹣b﹣1）lnx+x﹣1，则 ，由此利用导数性质及分类讨论思想能求出实数b的取值范围．
【考点精析】通过灵活运用函数的极值与导数，掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值即可以解答此题．