Question

已知椭圆C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率是

2

2

，且点P(

2

2

，1)在椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若过点D（2，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点E，F，试求△OEF面积的取值范围（O为坐标原点）．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得

1

a2

+

1 2

b2

=1，e=

c

a

=

2

2

，由此能求出椭圆的方程．
（2）设l为y=k（x-2），由

y=k(x-2) y2 2 +x2=1

，得（k²+2）x²-4k²x+4k²-2=0，由此利用韦达定理、点到直线的距离公式能求出三角形的面积的取值范围．

解答： 解：（1）由已知得

1

a2

+

1 2

b2

=1，①
又由e=

c

a

=

2

2

，得c2=

1

2

a2=a2-b2，
从而得b2=

1

2

a2，②，
由①②，解得a²=2，b²=1，
∴椭圆的方程为

y2

2

+x2=1．
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，
故设l为y=k（x-2），
由

y=k(x-2) y2 2 +x2=1

，得（k²+2）x²-4k²x+4k²-2=0，
∵直线l与椭圆C交于不同的两点E，F，
∴△=16k⁴-4（k²+2）（4k²-2）=16-24k²＞0，
解得k2＜

2

3

．
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
由韦达定理，得x1+x2=

4k2

k2+2

，x1x2=

4k2-2

k2+2

，
|EF|=

1+k2

•|x1-x2|=

2

k2+2

1+k2

•

4-6k2

，
设点O到直线EF的距离为d，则d=

2|k|

k2+1

，
S△OEF=

1

2

|EF|•d=

1

2

•

2

k2+2

1+k2

•

4-6k2

•

2|k|

k2+1

=2

4k2-6k4 (k2+2)2

，
令k²+2=t，则k²=t-2，
又0＜k2＜

2

3

，得2＜t＜

8

3

，
∴S△OEF=2

-6t2+28t-32 t2

=2

- 32 t2 + 28 t -6

=2

-32( 1 t - 7 16 )2+ 1 8

，
又2＜t＜

8

3

，得

3

8

＜

1

t

＜

1

2

，
当

1

t

=

7

16

时，S_△OEF取最大值

2

2

，
∴S_△OEF的取值范围为(0，

2

2

]．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查三角形的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．