Question

8．各个棱长均为a的三棱锥的外接球的表面积为$\frac{3}{2}{a^2}π$．

Answer 1

分析 由正三棱锥S-ABC的所有棱长均为a，所以此三棱锥一定可以放在棱长为$\frac{\sqrt{2}}{2}$a的正方体中，所以此四面体的外接球即为此正方体的外接球，由此能求出此四面体的外接球的半径，再代入体积公式计算．

解答 解：∵正三棱锥的所有棱长均为a，
∴此三棱锥一定可以放在正方体中，
∴我们可以在正方体中寻找此三棱锥．
∴正方体的棱长为$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴此四面体的外接球即为此正方体的外接球，
∵外接球的直径为正方体的对角线长，
∴外接球的半径为R=$\frac{\sqrt{6}}{4}$a，
∴球的表面积=4πR²=$\frac{3}{2}{a^2}π$．
故答案为：$\frac{3}{2}{a^2}π$．

点评 本题考查几何体的接体问题，考查了空间想象能力，其解答的关键是根据几何体的结构特征，求出接体几何元素的数据，代入体积公式分别求解．