Question

3．（1）在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=3a_n+2，求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）已知数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{2}{3}{a_n}$+$\frac{1}{3}$，求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）已知数列{a_n}满足a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-1a_n=n²+1，n∈N^*，求数列{a_n}的通项公式a_n；
（4）已知数列{a_n}满足a_n=$\left\{\begin{array}{l}{a_{n+1}}-2，n为奇数\\ \frac{1}{2}{a_{n+1}}，n为偶数\end{array}$，且a₁=1，求数列{a_n}的通项公式a_n．

Answer 1

分析 （1）由a₁=2，a_n+1=3a_n+2，变形为：a_n+1+1=3（a_n+1），利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）由S_n=$\frac{2}{3}{a_n}$+$\frac{1}{3}$，可得：n=1时，a₁=S₁=$\frac{2}{3}$a₁+$\frac{1}{3}$，解得a₁．n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，化为：a_n=-2a_n-1，利用等比数列的通项公式即可得出．
（3）由数列{a_n}满足a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-1a_n=n²+1，n∈N^*，可得n=1时，a₁=2；n≥2时，3^n-1a_n=n²+1-[（n-1）²+1]，即可得出．
（4）n为奇数2k-1（k∈N^*）时，a_2k-1=a_2k-2；n为偶数2k时，a_2k=$\frac{1}{2}{a}_{2k+1}$，可得a_2k+1=2a_2k-1+4，变形为：a_2k+1+4=2（a_2k-1+4），利用等比数列可得：a_2k-1，进而得出a_2k=a_2k-1+2．

解答 解：（1）∵a₁=2，a_n+1=3a_n+2，变形为：a_n+1+1=3（a_n+1），
∴数列{a_n+1}是等比数列，公比为-2，∴a_n+1=2×3^n-1，即a_n=2×3^n-1-1．
（2）由S_n=$\frac{2}{3}{a_n}$+$\frac{1}{3}$，可得：n=1时，a₁=S₁=$\frac{2}{3}$a₁+$\frac{1}{3}$，
解得a₁=1．n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{2}{3}{a_n}$+$\frac{1}{3}$-$（\frac{2}{3}{a}_{n-1}+\frac{1}{3}）$，化为：a_n=-2a_n-1，
∴数列{a_n}是等比数列，公比为-2，∴通项公式a_n=（-2）^n-1．
（3）∵数列{a_n}满足a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-1a_n=n²+1，n∈N^*，
∴n=1时，a₁=2；n≥2时，3^n-1a_n=n²+1-[（n-1）²+1]=2n-1，
∴a_n=$\frac{2n-1}{{3}^{n-1}}$，n=1时也成立．∴数列{a_n}的通项公式a_n=$\frac{2n-1}{{3}^{n-1}}$．
（4）n为奇数2k-1（k∈N^*）时，a_2k-1=a_2k-2；
n为偶数2k时，a_2k=$\frac{1}{2}{a}_{2k+1}$，∴a_2k+1=2a_2k-1+4，
变形为：a_2k+1+4=2（a_2k-1+4），
∴数列{a_2k-1+4}是等比数列，首项为5，公比为2，
可得：a_2k-1+4=5×2^k-1，可得：a_2k-1=5×2^k-1-4，
∴a_2k=a_2k-1+2=5×2^k-1-2．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{5×{2}^{k-1}-4，n=2k-1}\\{5×{2}^{k-1}-2，n=2k（k∈{N}^{*}）}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的定义通项公式、递推关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．