Question

20．已知A={x|x-5＜2x-4＜5-x}，B={x|x²-3x≤0，x∈R}，C={x|2x²+mx-1＜0，x∈R}，若对任意x∈A∩B都有x∈C，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 由题意：先求解A、B集合的范围，对任意x∈A∩B都有x∈C，说明（A∩B）⊆C，即可得到答案

解答 解：由A={x|x-5＜2x-4＜5-x}═{x|-1＜x＜3}，
B={x|x²-3x≤0，x∈R}={x|0≤x≤3}，
那么A∩B={x|0≤x＜3}，
由题意：对任意x∈A∩B都有x∈C，说明（A∩B）⊆C，
C={x|2x²+mx-1＜0，x∈R}，
令f（x）=2x²+mx-1＜0，
解法一：
根据一元二次方程根的分布，可得：$\left\{\begin{array}{l}{f（0）≤0}\\{f（3）≤0}\end{array}\right.$
解得：$m≤-\frac{17}{3}$
解法二：
△=b²-4ac=m²+8＞0，说明方程有两个不相等的实根，x₁＜x₂
由题意：
∴x₁≤0，x₂≥3
即：$\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}≤0$，$\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}≥3$
解得：$m≤-\frac{17}{3}$
∴实数m的取值范围是$m≤-\frac{17}{3}$．

点评 本题考查了交集及其运算与一元二次不等式相结合，读懂题意是解题的关键，是中档题．