题目内容
9．双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{16}$$-\frac{{y}^{2}}{4}$=1的、左右焦点分别为F1，F2，M（1，4），点F1，F2分别为△MAB的边MA，MB的中点，点N在第一象限内，线段MN的中点恰好在双曲线C上，则|AN|-|BN|的值为16．分析 连接PF1，PF2，运用双曲线的定义和三角形的中位线定理，计算即可得到所求值．
解答 
解：双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{16}$$-\frac{{y}^{2}}{4}$=1中，a=4，
连接PF1，PF2，
由PF1是△MAN的中位线，
可得|AN|=2|PF1|，
由PF2是△MBN的中位线，
可得|BN|=2|PF2|，
由双曲线的定义可得：
|PF1|-|PF2|=2a=8，
则|AN|-|BN|=2（|PF1|-|PF2|）=2×8=16．
故答案为：16．
点评 本题考查双曲线的定义、方程的运用，考查三角形的中位线定理的运用，以及运算能力，属于中档题．
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