在等腰梯形ABCD中.已知AB∥DC.AB=2.BC=1.∠ABC=60°.动点E和F分别在线段BC和DC上.且$\overrightarrow{BE}=λ\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{DF}=\frac{1}{9λ}\overrightarrow{DC}$.则$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}$的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

10．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且$\overrightarrow{BE}=λ\overrightarrow{BC}，\overrightarrow{DF}=\frac{1}{9λ}\overrightarrow{DC}$，则$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}$的最小值为（　　）

A．

$\frac{27}{18}$

B．

$\frac{29}{18}$

C．

$\frac{17}{18}$

D．

$\frac{13}{18}$

分析利用等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表示为关于λ的代数式，
再根据基本不等式求最小值即可．

解答解：如图所示，
等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，
所以AD=BC=CD=1，
所以$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$=（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BE}$）•（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DF}$）
=（$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{BC}$）•（$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{9λ}$$\overrightarrow{DC}$）
=$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{9λ}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{DC}$+λ$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{9}$$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{DC}$
=2×1×cos60°+$\frac{1}{9λ}$×2×1+λ×1×1×cos60°+$\frac{1}{9}$×1×1×cos120°
=1+$\frac{2}{9λ}$+$\frac{λ}{2}$-$\frac{1}{18}$≥$\frac{17}{18}$+2$\sqrt{\frac{2}{9λ}•\frac{λ}{2}}$=$\frac{29}{18}$，
当且仅当$\frac{2}{9λ}$=$\frac{λ}{2}$，即λ=$\frac{2}{3}$时等号成立．
故选：B．

点评本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用问题，也考查了基本不等式求最值问题．

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