Question

已知数列

8

12•32

，

16

32•52

，

24

52•72

，…，

8•n

(2n-1)2•(2n+1)2

，…，S_n为该数列的前n项和，
（1）计算得S₁，S₂，S₃，S₄，并归纳出S_n（n∈N^*）；
（2）用数学归纳法证明你的结论．

Answer 1

考点：数学归纳法,数列的求和,归纳推理

专题：推理和证明

分析：（1）由已知中a1=

8

12•32

，a2=

16

32•52

，a1=

24

52•72

，a4=

32

72•92

，可得：S₁=

8

9

，S₂=

24

25

，S₃=

48

49

，S₄=

80

81

，并猜想：S_n=

(2n+1)2-1

(2n+1)2

（2）利用归纳法进行证明，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．

解答： 解：（1）∵a1=

8

12•32

，a2=

16

32•52

，a1=

24

52•72

，a4=

32

72•92

，
∴S₁=

8

9

，S₂=

24

25

，S₃=

48

49

，S₄=

80

81

，
由此归纳猜想：S_n=

(2n+1)2-1

(2n+1)2

，
证明：（2）当n=1时，左=S₁=

8

9

，右=

(3)2-1

(3)2

=

8

9

，
猜想成立假设当n=k时猜想成立，即S_k=

(2k+1)2-1

(2k+1)2

（k∈N*）．
那么 S_k+1=S_k+a_k+1=

(2k+1)2-1

(2k+1)2

+

8•(k+1)

[2(k+1)-1]2•[2(k+1)+1]2

=

(2k+1)2(2k+3)2-(2k+3)2+8•(k+1)

(2k+1)2•(2k+3)2

=

(2k+1)2(2k+3)2-(2k+1)2

(2k+1)2•(2k+3)2

=

(2k+3)2-1

(2k+3)2

．
即当n=k+1时猜想也成立．
根据（1）和（2）可知，猜想对?n∈N^*都成立．

点评：此题主要考查归纳法的证明，归纳法一般三个步骤：（1）验证n=1成立；（2）假设n=k成立；（3）利用已知条件证明n=k+1也成立，从而求证．