Question

18．已知函数f（x）=x²+m与函数$g（x）=-ln\frac{1}{x}-3x$$（x∈[\frac{1}{2}，2]）$的图象上至少存在一对关于x轴对称的点，则实数m的取值范围是（　　）

• A． $[\frac{5}{4}+ln2，2]$
• B． $[2-ln2，\frac{5}{4}+ln2]$
• C． $[\frac{5}{4}+ln2，2+ln2]$
• D． [2-ln2，2]

Answer 1

分析 由已知，得到方程m=-lnx+3x-x²在[$\frac{1}{2}$，2]上有解，构造函数f（x）=-lnx+3x-x²，求出它的值域，得到m的范围即可．

解答 解：由已知，得到方程x²+m=ln$\frac{1}{x}$+3x?m=-lnx+3x-x²在[$\frac{1}{2}$，2]上有解．
设f（x）=-lnx+3x-x²，
求导得：f′（x）=-$\frac{1}{x}$+3-2x=-$\frac{2{x}^{2}-3x+1}{x}$=-$\frac{（2x-1）（x-1）}{x}$，
∵$\frac{1}{2}$≤x≤2，
令f′（x）=0，解得x=$\frac{1}{2}$或x=1，
当f′（x）＞0时，$\frac{1}{2}$＜x＜1函数单调递增，
当f′（x）＜0时，1＜x＜2函数单调减，
∴在x=1有唯一的极值点，
∵f（$\frac{1}{2}$）=ln2+$\frac{5}{4}$，f（2）=-ln2+2，f（x）_极大值=f（1）=2，且知f（2）＜f（$\frac{1}{2}$），
故方程m=-lnx+3x-x²在[$\frac{1}{2}$，2]上有解等价于2-ln2≤m≤2．
从而m的取值范围为[2-ln2，2]．
故选：D．

点评 本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将已知转化为方程x²+m=ln$\frac{1}{x}$+3x?m=-lnx+3x-x²在上有解．