Question

8．S_n为数列{a_n}的前n项和，已知a_n＞2，且a_n²+4n=4S_n+1．
（1）求证：{a_n}为等差数列；
（2）设b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系可得$（{a_{n+1}}-2{）^2}=a_n^2$，又a_n＞2，即可证明．
（2）利用“裂项求和”即可得出．

解答 （1）证明：由$a_n^2+4n=4{S_n}+1$，①
可得$a_{n+1}^2+4（n+1）=4{S_{n+1}}+1$，②
②-①得$a_{n+1}^2-a_n^2+4=4{a_{n+1}}$，
即$（{a_{n+1}}-2{）^2}=a_n^2$，
∵a_n＞2，∴a_n+1-2=a_n，
即a_n+1-a_n=2，
∴{a_n}为等差数列．
（2）解：由已知得a₁²+4=4a₁+1，
即$a_1^2-4{a_1}+3=0$，
解得a₁=1（舍）或a₁=3，
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1，
∴b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}[（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）]$
=$\frac{1}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}）$
=$\frac{n}{3（2n+3）}$．

点评 本题考查了递推关系的应用、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．