Question

18．分别求满足下列条件的直线l方程．
（1）将直线l₁：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1绕（0，1）点逆时针旋转$\frac{π}{6}$得到直线l；
（2）直线l过直线l₁：x+3y-1=0与l₂：2x-y+5=0的交点，且点A（2，1）到l的距离为2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （2）设直线l为x+3y-1+λ（2x-y+5）=0，化成一般式再利用点到直线的距离公式，建立关于λ的方程解出λ=$\frac{2}{3}$或-4，由此即可得到所求直线l的方程．

解答 解：（1）∵直线l₁的倾斜角为$\frac{π}{6}$，将直线l₁逆时针旋转$\frac{π}{6}$得到直线l；
∴直线l的倾斜角应为$\frac{π}{3}$，
所以直线l的斜率k=$\sqrt{3}$，
又∵直线l过（0，1），∴直线l的方程为：y-1=$\sqrt{3}$x，
即$\sqrt{3}$x-y+1=0．
（2）根据题意，设直线l为x+3y-1+λ（2x-y+5）=0，
整理得（2λ+1）x+（3-λ）y-1+5λ=0，
∵点A（2，1）到l的距离为2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{|4+8λ|}{\sqrt{{（2λ+1）}^{2}{+（3-λ）}^{2}}}$=2$\sqrt{2}$，解之得λ=$\frac{2}{3}$或-4，
所以直线l方程为x+y+1=0或x-y+3=0．

点评 本题给出直线l满足的条件，求直线l的方程，着重考查了直线的基本量与基本形式、点到直线的距离公式等知识，属于基础题．