Question

16．如图，点P从点O出发，分别按逆时针方向沿周长均为12的正三角形、正方形运动一周，O，P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系分别记为y=f（x），y=g（x），定义函数h（x）=$\left\{\begin{array}{l}f（x），f（x）≤g（x）\\ g（x），f（x）＞g（x）\end{array}$考查下列结论：
①h（4）=$\sqrt{10}$；
②函数h（x）的图象关于直线x=6对称；
③函数h（x）值域为$[{0，\sqrt{13}}]$；
④函数h（x）增区间为（0，5）．
其中正确的结论是①②③．（写出所有正确结论的序号）

Answer 1

分析 由已知条件求出函数的解析式，通过函数值，函数图象的对称性，单调性逐一判断四个命题得答案．

解答 解：由题意可得y=f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，（0≤x≤4）}\\{\sqrt{{x}^{2}-12x+48}，（4＜x＜8）}\\{-x+12，（8≤x＜12）}\end{array}\right.$，
y=g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，（0≤x≤3）}\\{\sqrt{{x}^{2}-6x+18}，（3＜x≤6）}\\{\sqrt{{x}^{2}-24x+153}，（6＜x＜9）}\\{-x+12，（9≤x＜12）}\end{array}\right.$，
①∵函数h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），f（x）≤g（x）}\\{g（x），f（x）＞g（x）}\end{array}\right.$，f（4）=4，g（4）=$\sqrt{10}$，
∴h（4）=$\sqrt{10}$，故①正确；                 
②函数h（x）的图象关于直线x=6对称；
∵两个几何图形是正三角形与正方形，∴函数h（x）的图象关于直线x=6对称，故②正确；
③∵f（x）∈[0，4]，g（x）∈[0，$3\sqrt{2}$]，
由$\sqrt{{x}^{2}-12x+48}$=$\sqrt{{x}^{2}-6x+18}$，解得x=5时，f（x）=g（x），此时g（5）=$\sqrt{13}$，
∴函数h（x）值域为[0，$\sqrt{13}$]，故③正确；
④∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，（0≤x≤4）}\\{\sqrt{{x}^{2}-12x+48}，（4＜x＜8）}\\{-x+12，（8≤x＜12）}\end{array}\right.$，x∈（6，8），f（x）是增函数，并且 g（x）≥f（x），
∴函数h（x）增区间为（0，5），（6，8）．故④不正确．
综上①②③正确．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查简单的建模思想方法，考查分段函数的图象与性质，属中高档题．