Question

17．已知函数f（x）=log₂x+2，则方程f（x）-f′（x）=2的根所在的区间为（　　）

• A． （0，$\frac{1}{2}$）
• B． （$\frac{1}{2}$，1）
• C． （1，2）
• D． （2，3）

Answer 1

分析 求导f′（x）=$\frac{1}{xln2}$，从而令h（x）=f（x）-f′（x）-2=log₂x-$\frac{1}{xln2}$，从而利用方程与函数的关系解得．

解答 解：∵f（x）=log₂x+2，∴f′（x）=$\frac{1}{xln2}$，
∴h（x）=f（x）-f′（x）-2=log₂x-$\frac{1}{xln2}$，
∵h（x）在其定义域（0，+∞）上连续单调递增，
且h（$\frac{1}{2}$）=log₂$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{\frac{1}{2}ln2}$-1-$\frac{2}{ln2}$＜0，
h（1）=0-$\frac{1}{ln2}$＜0，
h（2）=log₂2-$\frac{1}{2ln2}$=1-$\frac{1}{2ln2}$＞0，
故h（1）h（2）＜0；
故选：C．

点评 本题考查了导数的简单应用及方程的根与函数的零点的关系应用．