Question

若函数f（x）=Asin（ωx+

π

2

）+b（A＞0，ω＞0）的最小正周期为

π

2

，在一个周期内最大值和最小值之和为2，且方程f（x）=A的三个最小的不同正根按照从小到大的顺序恰好构成等比数列．
（1）试求函数f（x）的解析式；
（2）将y=f（x）的图象向下平移一个单位，再向左平移

π

12

个单位，得到函数y=g（x），试在如图所给的直角坐标系中画出函数y=g（x）在一个周期内的图象．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据函数f（x）=Asin（ωx+

π

2

）+b（A＞0，ω＞0）的最小正周期为

π

2

，可得ω=4，由在一个周期内最大值和最小值之和为2，可得b=1，由方程f（x）=A的三个最小的不同正根按照从小到大的顺序恰好构成等比数列，可设f（x）=A可设三个最小正根依次为a，aq，aq²（其中a＞0，q＞0）解出a值后代入f（x）=A可得A的值，进而得到函数的解析式；
（2）将f（x）=

2

3

cos4x+1的图象向下平移一个单位，再向左平移

π

12

个单位，得到函数y=g（x）=

2

3

cos（4x+

π

3

）的图象，结合余弦函数的图象和性质可得：函数y=g（x）在一个周期内的图象．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=Asin（ωx+

π

2

）+b（A＞0，ω＞0）的最小正周期为

π

2

，
∴ω=

2π

π 2

=4，
又∵在一个周期内最大值和最小值之和为2，
∴b=1（2分）
∴f（x）=Asin（4x+

π

2

）+1=Acos4x+1（3分）
∵方程f（x）=A的三个最小的不同正根按照从小到大的顺序恰好构成等比数列．
∴f（x）=A可设三个最小正根依次为a，aq，aq²（其中a＞0，q＞0）
则有

a+aq= π 2 aq2=a+ π 2

，
解得：a=

π

6

，q=2（5分）
将a=

π

6

代入f（x）=A可得：
Acos

2π

3

+1=A，即-

1

2

A+1=A，
解得：A=

2

3

，
∴f（x）=

2

3

cos4x+1；（7分）
（2）将f（x）=

2

3

cos4x+1的图象向下平移一个单位，再向左平移

π

12

个单位，
得到函数y=g（x）=

2

3

cos4（x+

π

12

）=

2

3

cos（4x+

π

3

）的图象，（9分）
函数y=g（x）在一个周期内的图象如下图所示：
（13分）

点评：本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，函数y=Asin（ωx+φ）的解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象画法，难度中档．