Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=AB=2，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N．
（Ⅰ）求证：SB∥平面ACM；
（Ⅱ）求证：直线SC⊥平面AMN；
（Ⅲ）求直线CM与平面AMN所成角的余弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）连结BD交AC于E，连结ME，由已知得ME∥SB，由此能证明SB∥平面ACM．
（Ⅱ）由条件有DC⊥SA，DC⊥DA，从而AM⊥DC，又AM⊥SD．从而AM⊥平面SDC，由此能证明SC⊥平面AMN．
（Ⅲ）由已知推导出∠CMN为所求的直线CM与面AMN所成的角，由此能求出直线CM与平面AMN所成角的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：连结BD交AC于E，连结ME．
∵ABCD是正方形，∴E是BD的中点．
∵M是SD的中点，∴ME是△DSB的中位线．
∴ME∥SB．
又∵ME?平面ACM，SB?平面ACM，
∴SB∥平面ACM．

（Ⅱ）证明：由条件有DC⊥SA，DC⊥DA，
∴DC⊥平面SAD，∴AM⊥DC．
又∵SA=AD，M是SD的中点，∴AM⊥SD．
∴AM⊥平面SDC．∴SC⊥AM．
由已知SC⊥AN，∴SC⊥平面AMN．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知CN⊥面AMN，则直线CM在面AMN内的射影为NM，
∴∠CMN为所求的直线CM与面AMN所成的角．    
又SA=AB=2，∴在Rt△CDM中CD=2，MD=

2

∴CM=

6

又SC=

SA2+AC2

=2

3

由△SNM∽△SDC可得

MN

CD

=

SM

SC

∴MN=

6

3

．∴cos∠CMN=

MN

CM

=

1

3

∴直线CM与平面AMN所成角的余弦值为

1

3

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．