Question

9．设椭圆M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点P（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），且焦距为2．
（1）求椭圆M的方程
（2）设O为坐标原点，过椭圆M的左焦点作斜率k（k＞0）的直线l与椭圆M交于A、B两点，且线段AB的中点为N，直线y=a²与y轴交于点C，求$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{ON}$的最大值及此时直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可得c=1，由P满足椭圆方程，结合a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）设出直线的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，可得N的坐标，由y=3，可得C的坐标，运用向量的数量积的坐标表示和基本不等式可得最大值及此时直线的方程．

解答 解：（1）由题意可得2c=2，即c=1，a²-b²=1，
将P代入椭圆方程，可得$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{3{b}^{2}}$=1，
解得a=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$，
可得椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）过椭圆M的左焦点（-1，0）作斜率k（k＞0）的直线l，
设为y=k（x+1），代入椭圆方程2x²+3y²=6，
可得（2+3k²）x²+6k²x+3k²-6=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=-$\frac{6{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}$，
即有中点N（-$\frac{3{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}$，$\frac{2k}{2+3{k}^{2}}$），
又C（0，3），即有$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{ON}$=-$\frac{3{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}$•0+$\frac{2k}{2+3{k}^{2}}$•3
=$\frac{6k}{2+3{k}^{2}}$=$\frac{6}{\frac{2}{k}+3k}$≤$\frac{6}{2\sqrt{3k•\frac{2}{k}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
当且仅当3k=$\frac{2}{k}$，即k=$\frac{\sqrt{6}}{3}$时，取得最大值$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
此时直线l的方程为y=$\frac{\sqrt{6}}{3}$（x+1）．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用点满足椭圆方程，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查向量的数量积的坐标表示和基本不等式求最值，属于中档题．