题目内容
14．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线x-y+$\sqrt{10}$=0与圆x2+y2=b2相交截得的弦长为2$\sqrt{3}$．（1）求椭圆C的标准方程；
（2）椭圆C与直线2x-3y=0在第一象限的交点为P，与直线OP平行的直线l交椭圆于A，B两点，求证：∠APB的平分线与y轴垂直．
分析 （1）由直线x-y+$\sqrt{10}$=0，可得F1（-$\sqrt{10}$，0），运用圆的弦长公式可得2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{{b}^{2}-（\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}}）^{2}}$，解方程可得b，c，进而得到a，即有椭圆的方程；
（2）联立直线2x-3y=0和椭圆方程4x2+9y2=72，可得P的坐标，再由直线OP的斜率设出直线l的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，再由直线的斜率公式，证得kPA+kPB=0即可．
解答 解：（1）点F1在直线x-y+$\sqrt{10}$=0上，可得F1（-$\sqrt{10}$，0），
由圆的弦长公式可得2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{{b}^{2}-（\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}}）^{2}}$，
解得b=2$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{10}$，a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{18}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1；
（2）证明：直线2x-3y=0代入椭圆方程4x2+9y2=72，
可得x=3，y=2（负的舍去），即P（3，2），
直线OP的斜率为$\frac{2}{3}$，可设直线l的方程为y=$\frac{2}{3}$x+t，
可得8x2+12tx+9t2-72=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=-$\frac{12t}{8}$，x1x2=$\frac{9{t}^{2}-72}{8}$，
由kPA+kPB=$\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}-3}$+$\frac{{y}_{2}-2}{{x}_{2}-3}$=$\frac{\frac{2}{3}{x}_{1}+t-2}{{x}_{1}-3}$+$\frac{\frac{2}{3}{x}_{2}+t-2}{{x}_{2}-3}$
=$\frac{4}{3}$+t（$\frac{1}{{x}_{1}-3}$+$\frac{1}{{x}_{2}-3}$）=$\frac{4}{3}$+t•$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}-6}{{x}_{1}{x}_{2}+9-3（{x}_{1}+{x}_{2}）}$
=$\frac{4}{3}$+t•$\frac{-12t-48}{9{t}^{2}-72+72+36t}$=0，
可得∠APB的平分线与y轴垂直．
点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用直线和圆相交的弦长公式，考查直线的斜率的运用，以及直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
| A． | （-∞，-2） | B． | （4，+∞） | C． | （-∞，-2）∪（4，+∞） | D． | （-2，4） |
| A． | fs（4）=fs（5） | B． | fs（4）=fT（5） | C． | fs（1）+fs（4）=fT（5）+fT（8） | D． | fs（2）+fs（3）=fT（4） |
| A． | x+y+2$\sqrt{2}$=0 | B． | x+y+2=0 | C． | x+y-2$\sqrt{2}$=0 | D． | x+y-2=0 |