Question

如图所示，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．
（1）求证：平面BDE⊥平面ACE；
（2）已知CE=1，点M为线段BD上的一个动点，直线EM与平面ABCD所成角的最大值为

π

4

．
①求正方形ABCD的边长；
②在线段EO上是否存在一点G，使得CG⊥平面BDE？若存在，求出

EG

EO

的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）证明BD⊥AC，BD⊥EC，从而证明平面BDE⊥平面ACE．
（2）由EC是平面ABCD的垂线，当M为O点时，直线EM与平面ABCD所成角的最大，从而求正方形ABCD的边长；当G为EO中点时，存在CG⊥平面BDE．

解答： 解：（1）证明：∵底面ABCD是正方形
∴BD⊥AC，
∵EC⊥底面ABCD
∴BD⊥EC
∴BD⊥平面ACE，
∴平面BDE⊥平面ACE．
（2）①点M为线段BD上的一个动点，
∵EC⊥底面ABCD
∴直线EM与平面ABCD所成角为∠EMC，tan∠EMC=

EC

CM

．
当CM最小时，直线EM与平面ABCD所成角的最大，
当BD⊥CM时，即M为O点时，直线EM与平面ABCD所成角的最大．
此时CO=1，正方形ABCD的边长为

2

．
②存在，当G为EO中点时，即

EG

EO

=

1

2

时，CG⊥平面BDE．
∴BD⊥平面ACE
∴BD⊥CG，
又∵△ECO为等腰三角形
∴CG⊥EO，
∴CG⊥平面BDE．

点评：本题主要考查线面垂直、面面垂直、线面角等知识，属于中档题．