Question

已知函数f（x）=2（

3

cosx-sinx）sinx，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期与单调增区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在[0，

π

4

]上的最大值与最小值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦函数的单调性,三角函数的最值

专题：三角函数的图像与性质

分析：根据题意、二倍角的正弦、余弦公式、两角和的正弦公式运算化简f（x），
（Ⅰ）由三角函数的周期公式求出周期，再由正弦函数的单调递增区间求出此函数的增区间；
（Ⅱ）由x的范围求出求出2x+

π

6

的范围，再由正弦函数的性质求出次函数的最大值、最小值．

解答： 解：由题意得，f（x）=2

3

sinxcosx-2sin²x=

3

sin2x+cos2x-1
=2(

3

2

sin2x+

1

2

cos2x)-1=2sin(2x+

π

6

)-1，
（Ⅰ）f（x）的最小正周期为：T=

2π

2

=π，
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ(k∈Z)得，
-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ(k∈Z)，
所以函数f（x）的单调增区间是[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ](k∈Z)；
（Ⅱ）因为0≤x≤

π

4

，所以

π

6

≤2x+

π

6

≤

2π

3

，
所以

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，即0≤2sin(2x+

π

6

)-1≤1，
所以0≤f（x）≤1，
当且仅当x=0时，f（x）取最小值f（x）_min=f（0）=0，
当且仅当2x+

π

6

=

π

2

时，即x=

π

6

时最大值f(x)max=f(

π

6

)=1．

点评：本题考查正弦函数的单调性、最值，以及三角恒等变换的公式的应用，考查了整体思想的应用．