Question

11．已知命题p：指数函数y=a^x（a＞0且a≠1）单调递增；命题q：?x∈R，x²-（3a-4）x+1=0．若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，可知命题p、q恰好一真一假，进而得到答案．

解答 （本小题满分12分）
解：命题p为真命题，则a＞1．…（2分）
命题q为真命题则（3a-4）²-4≥0，解得$a≤\frac{2}{3}$或a≥2．…（4分）
由命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，可知命题p、q恰好一真一假．…（5分）
故$\left\{\begin{array}{l}a＞1\\ \frac{2}{3}＜a＜2\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}a≤1\\ a≤\frac{2}{3}，或a≥2\end{array}\right.$，
解得：a∈$（-∞，\frac{2}{3}]∪（1，2）$．…（12分）

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查指数函数的图象和性质，方程根的个数判断，难度中档．