Question

16．对于函数f（x），若存在x∈R，使f（x₀）=x₀成立，则称x₀为f（x）的不动点．已知函数f（x）=ax²+（b+1）x+（b-1）（a≠0）．
（1）当a=1，b=2时，求函数f（x）的不动点；
（2）若对任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若f（x）的两个不动点为x₁，x₂，且f（x₁）+x₂=$\frac{-a}{{2{a^2}+1}}$，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）写出函数f（x）=x²+3x+1，利用不动点定义，列出方程求解即可．
（2）f（x）恒有两个不动点，得到ax²+（b+1）x+（b-1）=x，通过b²-4a（b-1）＞0恒成立，利用判别式得到不等式求解即可．
（3）利用定义推出$b=\frac{a^2}{{2{a^2}+1}}$，通过换元令t=a²∈（0，1），任何求解b的范围．

解答 解：（1）f（x）=x²+3x+1，因为x₀为不动点，
因此$f（{x_0}）=x_0^2+3{x_0}+1={x_0}$，所以x₀=-1，
所以-1为f（x）的不动点．（4分）
（2）因为f（x）恒有两个不动点，f（x）=ax²+（b+1）x+（b-1）=x，
ax²+bx+（b-1）=0（※），
由题设b²-4a（b-1）＞0恒成立，
即对于任意b∈R，b²-4ab+4a＞0恒成立，
所以（4a）²-4（4a）＜0⇒a²-a＜0，所以0＜a＜1．（8分）
（3）因为$f（{x_1}）+{x_2}={x_1}+{x_2}=-\frac{b}{a}=\frac{-a}{{2{a^2}+1}}$，所以$b=\frac{a^2}{{2{a^2}+1}}$，
令t=a²∈（0，1），则$b=\frac{t}{2t+1}，0＜t＜1$，$\frac{1}{t}＞1$，
∴2+$\frac{1}{t}$＞3，可得b=$\frac{1}{2+\frac{1}{t}}$∈（0，$\frac{1}{3}$）
∴$0＜b＜\frac{1}{3}$．（12分）

点评 本题考查函数恒成立，不动点的定义的应用，考查转化思想以及换元法的应用，考查分析问题解决问题的能力．