Question

命题P：函数f（x）=log_ax在（0，+∞）上是增函数；命题Q：?x∈R，使得x²-4x+A=0．
（1）若命题“P且P”为真，求实数a的取值范围；
（2）若命题“P或Q”为真，“P且Q”为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：（1）先根据对数函数的单调性，以及一元二次方程有解时判别式△的取值情况求出命题P，Q下a的取值范围，由P且Q为真知P真Q真，所以求出前面求得的a的范围的交集即可；
（2）根据命题“P或Q”为真，“P且Q”为假得到P真Q假，或P假Q真，所以求出这两种情况下a的取值范围再求并集即可．

解答： 解：（1）命题P为真时，a＞1；
命题Q为真时，方程x²-4x+a=0有解，∴△=16-4a≥0，a≤4；
∴若命题“P且Q”为真，则：P，Q都为真；
∴1＜a≤4；
∴实数a的取值范围为（1，4]；
（2）若命题“P或Q”为真，“P且Q”为假，则P，Q一真一假；
∴

a＞1 a＞4

，或

0＜a＜1 a≤4

；
∴a＞4，或0＜a＜1；
∴实数a的取值范围为（0，1）∪（4，+∞）．

点评：考查对数函数的单调性，一元二次方程有解时判别式△的取值情况，以及P或Q，P且Q的真假和P，Q真假的关系．