题目内容

已知a2-3a+1=0，求
(a3+a-3)(a3-a-3)
(a4+a-4+1)(a-a-1)
的值．
考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算
专题：计算题
分析：由已知得等式得到a+
1
a
=3，两边平方后得到a2+a-2=7，再平方得a4+a-4=47．代入要求值的代数式得答案．
解答： 解：由a2-3a+1=0，得
a+
1
a
=3，两边平方得，a2+a-2=7，
再平方得，a4+a-4=47．
∴
(a3+a-3)(a3-a-3)
(a4+a-4+1)(a-a-1)
=
(a+a-1)(a2+a-2-1)(a-a-1)(a2+a-2+1)
(a4+a-4+1)(a-a-1)

=
(a+a-1)(a2+a-2-1)(a2+a-2+1)
a4+a-4+1
=
3×6×8
48
=3．
点评：本题考查了根式与分数指数幂的互化，考查了有理指数幂的运算性质，是基础的计算题．
练习册系列答案
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函数y=x2-6x+1，x∈[2，5]的值域是（　　）
A、[-8，-4]
B、[-8，-4）
C、[-7，-4]
D、[-7，-4）
已知函数f（x）=alnx+bx（a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为x-2y-2=0．
（1）求a，b的值；
（2）当x＞1时，f（x）+
k
x
＜0恒成立，求实数k的取值范围；
（3）证明：当n∈N*，且n≥2时，
1
2ln2
+
1
3ln3
+…+
1
nlnn
＞
3n2-n-2
2n2+2n
．
设函数f（x）=
x
m(x+2)
（m∈R），方程f（x）=x有唯一解，其中m为常数，又f（a1）=
2
5
，f（an）=an+1（n∈N*）．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式
（Ⅲ）若bn=
4
an
-7且Cn=
b2n+1+b2n
2bn+1bn
（n∈N+），求证：c1+c2+…+cn＜n+1．
设函数f（x）=x2-x+alnx，其中a≠0．
（1）a=-6，求函数f（x）在[1，4]上的最值；
（2）设函数f（x）既有极大值，又有极小值，求实数a的取值范围；
（3）求证：当n∈N*时，e n(n2-1)≥（n!）3．
若关于x的方程x2-ax+a2-4=0有两个正实数根，求a的取值范围．
已知函数f（x）=ln（2-x）+ax，a＞0，a∈R．
（1）设曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l平行于x轴，求a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）求函数f（x）的区间[0，1]上的最小值．
设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=a（a≠3，a∈R），an+1=Sn+3n，n∈N*
（Ⅰ）设bn=Sn-3n ，n∈N*，求{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）若an+1≥a，n∈N*，求a的取值范围．
如图，点A、B分别是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，其中A（-6，0），F（4，0）点P在椭圆上且位于x轴上方，
PA
•
PF
=0．
（Ⅰ）求椭圆的方程和离心率；
（Ⅱ）求点P的坐标；
（Ⅲ）设M（m，0）是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|m-6|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．

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