Question

设函数f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意的x∈[a，b]，都有|f（x）-g（x）|≤k（k＞0），则称f（x）与g（x）在[a，b]上是“k度和谐函数”，[a，b]称为“k度密切区间”．设函数f（x）=lnx与g（x）=

mx-1

x

在[

1

e

，e]上是“e度和谐函数”，则m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：由“e度和谐函数”，得到对任意的x∈[

1

e

，e]，都有|f（x）-g（x）|≤e，化简整理得m-e≤lnx+

1

x

≤m+e，
令h（x）=lnx+

1

x

（

1

e

≤x≤e），求出h（x）的最值，只要m-e不大于最小值，且m+e不小于最大值即可．

解答： 解：：∵函数f（x）=lnx与g（x）=

mx-1

x

在[

1

e

，e]上是“e度和谐函数”，
∴对任意的x∈[

1

e

，e]上，都有|f（x）-g（x）|≤e，
即有|lnx+

1

x

-m|≤e，即m-e≤lnx+

1

x

≤m+e，
令h（x）=lnx+

1

x

（

1

e

≤x≤e），h′（x）=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，
x＞1时，h′（x）＞0，x＜1时，h′（x）＜0，
x=1时，h（x）取极小值1，也为最小值，
故h（x）在[

1

e

，e]上的最小值是1，最大值是e-1．
∴m-e≤1且m+e≥e-1，
∴-1≤m≤e+1．
故答案为：-1≤m≤1+e

点评：本题考查新定义及运用，考查不等式的恒成立问题，转化为求函数的最值，注意运用导数求解，是一道中档题．