Question

已知定义在R上的偶函数f（x）满足：f（x+2）=f（x）+f（1），且当x∈[0，1]时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：
①f（1）=0；
②直线x=-2为函数y=f（x）图象的一条对称轴；
③函数y=f（x）在[4，5]是单调递递增；
④若方程f（x）=m在[-3，-1]上的两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=-4．
以上命题正确的是

 

．（请把所有正确命题的序号都填上）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：①，令x=-1，即可得到f（1）=0；
②，利用y=f（x）为周期为2的偶函数，即可得到f（-2-x）=f（2+x）=f（-2+x），从而可判断②；
③，利用y=f（x）为周期为2的函数，及x∈[0，1]时，y=f（x）单调递减，可判断函数y=f（x）在[4，5]是单调递减函数，可判断③；
④，由②知y=f（x）关于x=-2对称，从而可判断④．

解答： 解：对于①，∵f（x+2）=f（x）+f（1），
∴f（-1+2）=f（-1）+f（1），
∴f（-1）=0，又f（x）为偶函数，
∴f（-1）=f（1）=0，故①正确；
且当x∈[0，1]时，y=f（x）单调递减，
对于②，由①知f（1）=0，∴f（x+2）=f（x），
∴y=f（x）为周期为2的偶函数，
∴f（-2-x）=f（2+x）=f（-2+x），
∴y=f（x）关于x=-2对称，故②正确；
对于③，∵f（x+2）=f（x），∴y=f（x）为周期为2的函数，
又x∈[0，1]时，y=f（x）单调递减，
∴函数y=f（x）在[4，5]是单调递减函数，故③错误；
对于④，∵偶函数y=f（x）在区间[0，1]上单调递减，
∴y=f（x）在区间[-1，0]上单调递增，又y=f（x）为周期为2的函数，
∴y=f（x）在区间[-3，-2]上单调递增，在区间[-2，-1]上单调递减，
又y=f（x）关于x=-2对称，
∴当方程f（x）=m在[-3，-1]上的两根为x₁，x₂时，x₁+x₂=-4，故④正确．
综上所述，①②④正确．
故答案为：①②④．

点评：本题考查考查命题的真假判断与应用，注重考查函数的单调性、周期性、对称性及函数的零点，考查分析与综合应用能力，属于难题．