Question

7．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，侧面PAD是等腰三角形∠APD=90°，且平面PAD⊥平面ABCD
（Ⅰ）求证：PA⊥PC；
（Ⅱ）若AD=2，AB=4，求三棱锥P-ABD的体积；
（Ⅲ）在条件（Ⅱ）下，求四棱锥P-ABCD外接球的表面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知推导出CD⊥AD，CD⊥面PAD，从而PA⊥面PCD，进而PA⊥PC．
（Ⅱ）取AD中点E，连结PE，推导出PE是棱锥P-ABD的高，由此能求出三棱锥P-ABD的体积．
（Ⅲ）连结AC，交BD于O，由OA=OB=OC=OD=$\sqrt{5}$，得外接球的半径R=$\sqrt{5}$，由此能求出四棱锥P-ABCD的外接球的表面积．

解答 （本小题满分13分）
证明：（Ⅰ）∵面PAD⊥面ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥AD，
∴CD⊥面PAD，
又CD?平面PCD，面PAD∩面PCD=PD，
∴PA⊥面PCD，
∴PA⊥PC．
解：（Ⅱ）取AD中点E，连结PE，
∵PA=PD，∴PE⊥AD，
又面PAD⊥面ABCD，∴PE⊥面ABCD，
∴PE是棱锥P-ABD的高，
在等腰直角三角形PAD中，AD=2，∴PE=1，
Rt△ABD中，AB=4，AD=2，∴${S}_{△ABD}=\frac{1}{2}×2×4=4$，
∴${V}_{P-ABD}=\frac{1}{3}{S}_{△ABD}•PE=\frac{1}{3}×4×1$=$\frac{4}{3}$．
（Ⅲ）连结AC，交BD于O，
∵ABCD是矩形，∴OA=OB=OC=OD=$\sqrt{5}$，
∴O为四棱锥P-ABCD的外接球的球心，且外接球的半径R=$\sqrt{5}$，
∴四棱锥P-ABCD的外接球的表面积S=4π（$\sqrt{5}$）²=20π．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查三棱锥的体积和四棱锥外接球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．