Question

（文科）已知双曲线的中点在坐标原点、焦点在x轴上，实轴长为2

3

，渐近线方程为y=±

3

3

x．
（Ⅰ）求双曲线的标准方程；
（Ⅱ）求与（Ⅰ）中双曲线有共同的焦点，且过点（

5

，-

3

）的椭圆方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，（a＞0，b＞0），由已知得

2a=2 3 b a = 3 3

，由此能求出双曲线的标准方程．
（Ⅱ）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

a2-4

=1，a＞0，由已知得

5

a2

+

3

a2-4

=1，由此能求出椭圆方程．

解答： 解：（Ⅰ）∵双曲线的中点在坐标原点、焦点在x轴上，
∴设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，（a＞0，b＞0），
∵实轴长为2

3

，渐近线方程为y=±

3

3

，
∴

2a=2 3 b a = 3 3

，解得a=

3

，b=1，
∴双曲线的标准方程为

x2

3

-y2=1．
（Ⅱ）∵双曲线

x2

3

-y2=1的焦点坐标为F₁（-2，0），F₂（2，0）．
∴所求椭圆的焦点坐标为F₁（-2，0），F₂（2，0），
设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

a2-4

=1，a＞0，
∵椭圆过点（

5

，-

3

），
∴

5

a2

+

3

a2-4

=1，
解得a²=10，或a²=2（舍），
∴椭圆方程为

x2

10

+

y2

6

=1．

点评：本题考查双曲线方程的求法，考查椭圆方程的求法，考解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．