题目内容
已知f（x）=ax+a-x，证明：f（x）在（0，+∞）上是增函数．
考点：函数单调性的判断与证明
专题：函数的性质及应用
分析：在（0，+∞）上任取x1，x2，令x1＜x2，f（x）=ax+a-x=
，f（x2）-f（x1）=
．由此能证明f（x）在（0，+∞）上是增函数．
| a2x+1 |
| ax |
| (ax1ax2-1)(ax2-ax1) |
| ax2ax1 |
解答：
证明：在（0，+∞）上任取x1，x2，令x1＜x2，
∵f（x）=ax+a-x=
，
∴f（x2）-f（x1）=
-
=
=
．
当a＞1时，ax2ax1＞1，ax2＞a x1，
∴f（x2）-f（x1）＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数；
当0＜a＜1时，0＜ax2ax1＜1，ax2＜a x1，
∴f（x2）-f（x1）＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数．
故f（x）在（0，+∞）上是增函数．
∵f（x）=ax+a-x=
| a2x+1 |
| ax |
∴f（x2）-f（x1）=
| a2x2+1 |
| ax2 |
| a2x1+1 |
| ax1 |
=
| a2x2•ax1+ax1-a2x1 ax2-ax2 |
| ax2•ax1 |
=
| (ax1ax2-1)(ax2-ax1) |
| ax2ax1 |
当a＞1时，ax2ax1＞1，ax2＞a x1，
∴f（x2）-f（x1）＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数；
当0＜a＜1时，0＜ax2ax1＜1，ax2＜a x1，
∴f（x2）-f（x1）＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数．
故f（x）在（0，+∞）上是增函数．
点评：本题考查函数是增函数的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
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