Question

已知实数a，b∈{1，2，3}，则函数y=

1

3

x³-ax²+bx+5有极值的概率为（　　）

• A、

  1

  3

• B、

  2

  9

• C、

  2

  3

• D、

  7

  9

Answer 1

考点：古典概型及其概率计算公式,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：函数y=

1

3

x³-ax²+bx+5有极值?x²-2ax+b=0有两个不等的实数根?△=4a²-4b＞0，即a²＞b．利用古典概型的概率计算公式求出即可．

解答： 解：f′（x）=x²-2ax+b，
函数y=

1

3

x³-ax²+bx+5有极值?x²-2ax+b=0有两个不等的实数根?△=4a²-4b＞0，即a²＞b．
∵实数a，b∈{1，2，3}，可得基本事件（a，b）共有9个，其中满足a²＞b的共有6个：（2，1），（3，1），（3，2），（2，3），（2，2），（3，3）．
∴函数y=

1

3

x³-ax²+bx+5有极值的概率P=

6

9

=

2

3

．
故选：C．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、古典概型的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．