Question

已知椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点A（1，

2

2

），其焦距为2．

（Ⅰ）求椭圆C₁的方程；
（Ⅱ）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），则椭圆在其上一点A（x₀，y₀）处的切线方程为

x0x

a2

+

y0y

b2

=1，试运用该性质解决以下问题：
（i）如图（1），点B为C₁在第一象限中的任意一点，过B作C₁的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，求△OCD面积的最小值；
（ii）如图（2），过椭圆C₂：

x2

8

+

y2

2

=1上任意一点P作C₁的两条切线PM和PN，切点分别为M，N．当点P在椭圆C₂上运动时，是否存在定圆恒与直线MN相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）依题意得：椭圆的焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0），由椭圆定义知：2a=|AF₁|+|AF₂|，即可求出a，b，从而可求椭圆C₁的方程；
（Ⅱ）（i）确定S△OCD=

1

x2y2

，再结合基本不等式，即可求△OCD面积的最小值；
（ii）先求出直线MN的方程，再求出原点O到直线MN的距离，即可得出结论．

解答： 解：（I）依题意得：椭圆的焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0），由椭圆定义知：2a=|AF₁|+|AF₂|，
∴a=

2

，c=1∴b=1，所以椭圆C₁的方程为

x2

2

+y2=1．…（4分）
（II）（ⅰ）设B（x₂，y₂），则椭圆C₁在点B处的切线方程为

x2

2

x+y2y=1
令x=0，yD=

1

y2

，令y=0，xC=

2

x2

，所以S△OCD=

1

x2y2

…（5分）
又点B在椭圆的第一象限上，所以x2＞0，y2＞0，

x22

2

+y22=1，
∴1=

x22

2

+y22≥2

x22 2 y22

=

2

x2y2…（7分）
∴S△OCD=

1

x2y2

≥

1

2

=

2

2

，当且仅当

x22

2

=y22?x2=

2

y2=1
所以当B(1，

2

2

)时，三角形OCD的面积的最小值为

2

…（9分）
（ii）设P（m，n），则椭圆C₁在点M（x₃，y₃）处的切线为：

x3

2

x+y3y=1

又PM过点P（m，n），所以

x3

2

m+y3n=1，同理点N（x₄，y₄）也满足

x4

2

m+y4n=1，
所以M，N都在直线

x

2

m+yn=1上，
即：直线MN的方程为

m

2

x+ny=1…（12分）
所以原点O到直线MN的距离d=

1

m2 4 +n2

=

2

2

，…（13分）
所以直线MN始终与圆x2+y2=

1

2

相切．…（14分）

点评：本题考查椭圆的方程，考查三角形面积的计算，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．