Question

已知x₁、x₂是函数f（x）=

1

3

x²+

1

2

ax²+2bx（a，b∈R）的两个极值点，且x₁∈（0，1），x₂∈（1，2），则4a+3b的取值范围是（　　）

• A、（-9，-4）
• B、（-8，-4）
• C、（-9，-8）
• D、（-15，-4）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：求导函数，利用f（x）的两个极值点分别是x₁，x₂，x₁∈（0，1），x₂∈（1，2），建立不等式，利用平面区域，即可求4a+3b的取值范围．

解答： 解：由题意，f′（x）=x²+ax+2b．
∵f（x）的两个极值点分别是x₁，x₂，x₁∈（0，1），
x₂∈（1，2），
∴

f′(0)=2b＞0 f′(1)=1+a+2b＜0 f′(2)=4+2a+2b＞0

，
对应的平面区域如图所示，三个顶点坐标为A（-1，0），
B（-2，0），C（-3，1），则
在（-1，0）处，4a+3b=-4，在（-3，1）处，4a+3b=-9，
∴4a+3b的取值范围是（-9，-4）．
故选A．

点评：本题考查导数知识的运用：求极值，考查平面区域的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．