Question

18．矩形ABCD中，|AB|=4，|BC|=3，$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{CF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}$，若向量$\overrightarrow{BD}=x\overrightarrow{BE}+y\overrightarrow{BF}$，则x+y=$\frac{7}{5}$．

Answer 1

分析 以B为坐标原点建立坐标系，求出各个向量的坐标，进而构造关于x，y的方程组，解得答案．

解答 解：以B为坐标原点建立如下图所示的坐标系：

∵|AB|=4，|BC|=3，$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{CF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}$，
∴$\overrightarrow{BE}$=（4，1），$\overrightarrow{BF}$=（2，3），$\overrightarrow{BD}$=（4，3），
∵$\overrightarrow{BD}=x\overrightarrow{BE}+y\overrightarrow{BF}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}4=4x+2y\\ 3=x+3y\end{array}\right.$，
两式相加得：5（x+y）=7，
故x+y=$\frac{7}{5}$，
故答案为：$\frac{7}{5}$．

点评 本题考查的知识点是向量在几何中的应用，向量共线的充要条件，难度中档．