Question

13．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）+f（x+1）=0，且在[-3，-2]上f（x）=2x+5，A、B是三边不等的锐角三角形的两内角，则下列不等式正确的是（　　）

• A． f（sinA）＞f（sinB）
• B． f（cosA）＞f（cosB）
• C． f（sinA）＞f（cosB）
• D． f（sinA）＜f（cosB）

Answer 1

分析 由题意可知：函数的周期为2，根据偶函数的对称轴及单调性即可求得f（x）在[0，1]上为单调减函数，由A，B是锐角三角形的两个内角，求得A，B的取值范围，根据函数的单调性即可求得答案．

解答 解：由f（x）+f（x+1）=0，
∴f（x+2）=f（x），
∴函数的周期为2，
∵f（x）在[-3，-2]上为增函数，
∴f（x）在[-1，0]上为增函数，
∵f（x）为偶函数，
∴f（x）在[0，1]上为单调减函数．
∵在锐角三角形中，π-A-B＜$\frac{π}{2}$，
∴A+B＞$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{2}$-B＜A，
∵A，B是锐角，
∴0＜$\frac{π}{2}$-B＜A＜$\frac{π}{2}$，
∴sinA＞sin（$\frac{π}{2}$-B）=cosB，
∴f（x）在[0，1]上为单调减函数．
∴f（sinA）＜f（cosB），
故选D．

点评 本题主要考查了函数的奇偶性和周期性的应用，以及三角函数的图象和性质，诱导公式的应用，综合性较强，涉及的知识点较多，属于中档题．