Question

【题目】已知函数

（1）当时，设，且函数在上单调递增.

①求实数的取值范围；

②设，当实数取最小值时，求函数的极小值.

（2）当时，证明：函数有两个零点.

Answer 1

【答案】（1）①②（2）证明见解析

【解析】

（1）求导得到恒成立，即在上恒成立，设，求函数的最大值得到答案；，求导得到函数单调性，得到极小值.

（2），计算函数单调性得到，故存在唯一，使得，又，得到答案.

（1）①，得，

由题意知在上恒成立，在上恒成立.

令，则，

令，得，令，得，

在上单调递增，在单调递减，，

，即实数的取值范围是.

②当实数取最小值时，.

，

令，解得或，

当或时，；当时，.

在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

当时，取得极小值，极小值为.

（2）当时，函数.

令，解得，

当，时在上单调递减，

当时，在上单调递增，

令则，

在上单调递减，即.

当时，，由零点存在性定理，存在唯一，使得，

又有两个零点.