Question

【题目】如图,直角三角形所在的平面与半圆弧所在平面相交于,，,分别为,的中点, 是上异于,的点, .

（1）证明:平面平面;

（2）若点为半圆弧上的一个三等分点(靠近点)求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）由直径所对的圆周角为，可知，通过计算，利用勾股定理的逆定理可以判断出为直角三角形，所以有.由已知可以证明出，这样利用线面垂直的判定定理可以证明平面，利用面面垂直的判定定理可以证明出平面平面;

（2）以为坐标原点，分别以垂直于平面向上的方向、向量所在方向作为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，求出相应点的坐标，求出平面的一个法向量和平面的法向量，利用空间向量数量积运算公式，可以求出二面角的余弦值.

解：（1）证明：因为半圆弧上的一点，所以.

在中，分别为的中点，所以，且.

于是在中， ，

所以为直角三角形，且.

因为，,所以.

因为，，，

所以平面.

又平面，所以平面平面.

（2）由已知，以为坐标原点，分别以垂直于、向量所在方向作为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，,

,,.

设平面的一个法向量为,

则即，取,得.

设平面的法向量,

则即，取,得.

所以，

又二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.