题目内容
已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+2（cos2x-1）
（1）求f（x）的最小正周期和单调增区间
（2）当x∈[0，
]，求f（x）的最大值以及取得最大值时的x取值集合．
（1）求f（x）的最小正周期和单调增区间
（2）当x∈[0，
| π |
| 2 |
考点：三角函数中的恒等变换应用
专题：三角函数的求值
分析：（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式为 f（x）=
sin（2x+
），由此可得函数的最小正周期，再根据正弦函数的单调性求得f（x）的单调增区间．
（3）根据x∈[0，
]，利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最大值以及取得最大值时的x取值集合．
| 2 |
| π |
| 4 |
（3）根据x∈[0，
| π |
| 2 |
解答：
解：（1）由于函数f（x）=（sinx+cosx）2+2（cos2x-1）=1+sin2x+cos2x-1=
sin（2x+
），
故函数的最小正周期为
=π．
令2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
，k∈z，求得 kπ-
≤x≤kπ+
，故函数的增区间为[kπ-
，kπ+
]，k∈z．
令2kπ+
≤2x+
≤2kπ+
，k∈z，求得 kπ+
≤x≤kπ+
，故函数的减区间为[kπ+
，kπ+
]，k∈z．
（3）当x∈[0，
]，2x+
∈[
，
]，故当2x+
=
，即x=
时，函数f（x）取得最大值为
，
故函数的最大值为
，取得最大值时的x取值集合为{
}．
| 2 |
| π |
| 4 |
故函数的最小正周期为
| 2π |
| 2 |
令2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| 3π |
| 8 |
| π |
| 8 |
| 3π |
| 8 |
| π |
| 8 |
令2kπ+
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| 3π |
| 2 |
| π |
| 8 |
| 5π |
| 8 |
| π |
| 8 |
| 5π |
| 8 |
（3）当x∈[0，
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 5π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| π |
| 8 |
| 2 |
故函数的最大值为
| 2 |
| π |
| 8 |
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的周期性、单调性、定义域和值域，属于基础题．
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