Question

已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．
（1）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线斜率；
（2）若函数f（x）在x∈（0，e]上的最大值为-3；求a的值；
（3）设g（x）=x²-2x+2，若对任意x₁∈（0，+∞），均存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）根据函数在切点处的导数与切线斜率的关系，容易求出函数f（x）在x=1处的切线斜率．
（2）讨论f（x）在（0，e]上的单调性，根据单调性求f（x）的最大值，这样便可求出a的值．
（3）通过已知条件知：只要使f（x）在（0，+∞）上的最大值小于g（x）在[0，1]的最大值，便能满足条件，从而分别求f（x），g（x）的最大值，这便可得到关于a的不等式，解不等式即可得a的取值范围．

解答： 解：（1）f（x）=2x+lnx，f′（x）=2+

1

x

；
∴f′（1）=3；
∴曲线y=f（x）在x=1处的切线斜率为3．
（2）f′（x）=a+

1

x

=

ax+1

x

，x＞0；
①当a≥0时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，e]上单调递增；
∴f_max（x）=f（e）=ae+1=-3，∴a=-

4

e

＜0（舍去）；
②当a＜0时，f′（x）=

a(x+ 1 a )

x

；
若0＜-

1

&;a＜e，即a＜-

1

e

，在(0，-

1

&;a)上f′（x）＞0；在(-

1

&;a，e]上f′（x）＜0；
∴fmax(x)=f(-

1

a

)=-1+ln(-

1

a

)=-3，∴a=-e²；
若-

1

&;a≥e，即；a≥-

1

e

a≥-

1

e

，在（0，e]上f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，e]上单调递增；
∴f_max（x）=f（e）=ae+1=-3，∴a=-

4

e

＜-

1

e

（舍去）．
综上得a=-e²．
（3）由已知转化为f_max（x）＜g_max（x）；
g（x）=（x-1）²+1，∴在[0，1]上g_max（x）=2；
由（2）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，存在f（e²）=ae²+2＞2，（舍去）；
当a＜0时，f（x）在（0，-

1

a

）上单调递增，在（-

1

a

，+∞）上单调递减；
∴fmax(x)=f(-

1

a

)=-1-ln(-a)；
∴-1-ln（-a）＜2   解得a＜-

1

e3

．
∴a的取值范围是（-∞，-

1

e3

）．

点评：考查函数在切点处的导数与切线斜率的关系，函数导数符号和函数单调性的关系，根据单调性求函数的最大值，二次函数的最大值，第三问，由已知条件得出f_max（x）＜g_max（x）是求解本问的关键．