Question

2．已知函数f（x）=x|x-a|+2x，其中a∈R．
（1）若函数f（x）在R上是增函数，求a的取值范围．
（2）若存在a∈[-2，4]，使得关于x的方程f（x）=bf（a）有三个不相同的实数解，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若函数f（x）在R上是增函数，则$\left\{\begin{array}{l}{a≥\frac{a-2}{2}}\\{a≤\frac{2+a}{2}}\end{array}\right.$，即可求a的取值范围．
（2）将a分区间讨论，求出单调区间解出即可．

解答 解：（1）f（x）=x|x-a|+2x=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（2-a）x，x≥a}\\{-{x}^{2}+（2+a）x，x＜a}\end{array}\right.$，
由f（x）在R上是增函数，则$\left\{\begin{array}{l}{a≥\frac{a-2}{2}}\\{a≤\frac{2+a}{2}}\end{array}\right.$，即-2≤a≤2，则a范围为-2≤a≤2
（2）①-2≤a≤2，f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，
关于x的方程f（x）=bf（a）不可能有三个不相等的实数解．
②当2＜a≤4时，由（1）知f（x）在（-∞，$\frac{a+2}{2}$]和[a，+∞）上分别是增函数，
在[$\frac{a+2}{2}$，a]上是减函数，
当且仅当2a＜b•f（a）＜$\frac{（a+2）^{2}}{4}$时，方程f（x）=b•f（a）有三个不相等的实数解．
即1＜t＜$\frac{（a+2）^{2}}{8a}$=$\frac{1}{8}$（a+$\frac{4}{a}$+4）．
令g（a）=a+$\frac{4}{a}$，g（a）在a∈（2，4]时是增函数，
故g（a）_max=5．
∴实数t的取值范围是（1，$\frac{9}{8}$）．

点评 本题考查了函数的最值，函数单调性的运用，渗透了分类讨论思想，综合性较强，是较难的一道题．