Question

5．已知函数f（x）=x²-2lnx-2ax（a∈R）．
（1）当a=0时，求函数f（x）的极值；
（2）当x∈（1，+∞）时，试讨论关于x的方程f（x）+ax²=0实数根的个数．

Answer 1

分析 （1）将a=0代入f（x），求出f（x）的导数，解关于导函数的不等式，得到函数的单调区间，求出函数的极值即可；
（2）令g（x）=f（x）+ax²=（a+1）x²-2lnx-2ax，x∈（1，+∞），求出g（x）的导数，通过讨论a的范围，确定g（x）的单调性，求出函数的最值，从而判断函数的零点即方程的实数根的个数．

解答 解：（1）a=0时，f（x）=x²-2lnx，（x＞0），
f′（x）=2x-$\frac{2}{x}$=$\frac{2（x+1）（x-1）}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1，
∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
∴f（x）_极小值=f（1）=1，无极大值；
（2）令g（x）=f（x）+ax²=（a+1）x²-2lnx-2ax，x∈（1，+∞），
g′（x）=2（a+1）x-$\frac{2}{x}$-2a=$\frac{2[（a+1）x+1]（x-1）}{x}$，
①当-$\frac{1}{a+1}$≤1即a≤-2，或a≥-1时，
g′（x）＞0在（1，+∞）恒成立，
g（x）在（1，+∞）递增，
∴g（x）＞g（1）=1-a，
若1-a≥0，即a≤1时，g（x）＞0在（1，+∞）恒成立，
即程f（x）+ax²=0无实数根，
若1-a＜0，即a＞1时，存在x₀，使得g（x₀）=0，
即程f（x）+ax²=0有1个实数根，
②当-$\frac{1}{a+1}$＞1即-2＜a＜-1时，
令g′（x）＞0，解得：0＜x＜-$\frac{1}{a+1}$，
令g′（x）＜0，解得：x＞-$\frac{1}{a+1}$，
∴g（x）在（1，-$\frac{1}{a+1}$）递增，在（-$\frac{1}{a+1}$，+∞）递减，
而g（1）=1-a＞0，故g（x）＞0在（1，-$\frac{1}{a+1}$）上恒成立，
x→+∞时，g（x）=（a+1）x²-2lnx-2ax→-∞，
∴存在x₀，使得g（x₀）=0，
即方程f（x）+ax²=0在（-$\frac{1}{a+1}$，+∞）上有1个实数根，
综上：a≤-2或-1≤a≤1时，方程无实数根，-2＜a＜-1或a＞1时，方程有1个实数根．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，是一道综合题．