Question

7．已知如图所示的三棱锥D-ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，AB=3，AC=$\sqrt{3}$，BC=CD=BD=2$\sqrt{3}$，则球O的表面积为16π．

Answer 1

分析 证明AC⊥AB，可得△ABC的外接圆的半径为$\sqrt{3}$，利用△ABC和△DBC所在平面相互垂直，球心在BC边的高上，设球心到平面ABC的距离为h，则h²+3=R²=（$\frac{\sqrt{3}}{2}×2\sqrt{3}$-h）²，求出球的半径，即可求出球O的表面积．

解答 解：∵AB=3，AC=$\sqrt{3}$，BC=2$\sqrt{3}$，
∴AB²+AC²=BC²，
∴AC⊥AB，
∴△ABC的外接圆的半径为$\sqrt{3}$，
∵△ABC和△DBC所在平面相互垂直，
∴球心在BC边的高上，
设球心到平面ABC的距离为h，则h²+3=R²=（$\frac{\sqrt{3}}{2}×2\sqrt{3}$-h）²，
∴h=1，R=2，
∴球O的表面积为4πR²=16π．
故答案为：16π．

点评 本题考查球O的表面积，考查学生的计算能力，确定球的半径是关键．