题目内容
4．袋子中装有形状，大小完全相同的小球若干，其中红球a个，黄球b个，蓝球c个；现从中随机取球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．（1）若从该袋子中任取一个球，所得分数X的数学期望和方差分别为$\frac{5}{3}$和$\frac{5}{9}$，求a：b：c；
（2）在（1）的条件下，当袋子中球的总数最少时，从该袋中一次性任取3个球，求所得分数之和大于等于6的概率．
分析 （1）由已知得先求出X的分布列，从而求出E（X），D（X），由此能求出a：b：c．
（2）结合（1）知，当袋子中球的总数量少时，红、黄、蓝球的个数分别是3，2，1，共6个球，从中任取3个，得分之和记为Y，由此能求出所得分数之和大于等于6的概率．
解答 解：（1）由已知得X的分布列为：
| X | 1 | 2 | 3 |
| P | $\frac{a}{a+b+c}$ | $\frac{b}{a+b+c}$ | $\frac{c}{a+b+c}$ |
∴$\frac{a+2b+3c}{a+b+c}$=$\frac{5}{3}$，①
D（X）=（1-$\frac{5}{3}$）2×$\frac{a}{a+b+c}$+（2-$\frac{5}{3}$）2×$\frac{b}{a+b+c}$+（3-$\frac{5}{3}$）2×$\frac{c}{a+b+c}$=$\frac{4a+b+16c}{9（a+b+c）}$=$\frac{5}{9}$，
∴$\frac{4a+b+16c}{9（a+b+c）}$=$\frac{5}{9}$，②
由①②解得a=3c，b=2c，
∴a：b：c=3：2：1．
（2）结合（1）知，当袋子中球的总数量少时，红、黄、蓝球的个数分别是3，2，1，
共6个球，从中任取3个，得分之和记为Y，
则P（Y=6）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{6}{20}$，
P（Y=7）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{20}$，
∴P（Y≥6）=P（Y=6）+P（Y=7）=$\frac{7}{20}$．
点评 本题考查袋子红球、黄球、蓝球的个数比值的求法，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的性质的合理运用．
练习册系列答案
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