Question

【题目】已知抛物线E：过点，过抛物线E上一点作两直线PM，PN与圆C：相切，且分别交抛物线E于M、N两点．

（1）求抛物线E的方程，并求其焦点坐标和准线方程；

（2）若直线MN的斜率为，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）抛物线E的方程为，焦点坐标为，准线方程为；（2）或

【解析】

（1）将点代入抛物线方程，可求出抛物线E的方程，进而可求出焦点坐标及准线方程；

（2）设，，可表示出直线及的斜率的表达式，进而可表示出两直线的方程，再结合直线和圆相切，利用点到直线的距离等于半径，可得，满足方程，从而得到，又直线MN的斜率为，可求出的值，即可求出点P的坐标.

（1）将点代入抛物线方程得，，所以抛物线E的方程为，焦点坐标为：，准线方程为：．

（2）由题意知，，设，，

则直线的斜率为，同理，直线PN的斜率为，

直线MN的斜率为，故，

于是直线的方程为，即，

由直线和圆相切，得，

即，

同理，直线PN的方程为，

可得，

故，是方程的两根．

故，即，

所以，解得或．

当时，；当时，．

故点P的坐标为或．