Question

【题目】已知函数．

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）若曲线在点处的切线与有且只有一个公共点，求正数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）当时，在递增，在递减；当时， 在递增；当时，在递减，在递增．（2）或．

【解析】

（1）根据函数解析式，求得导函数，并对分类讨论，即可判断函数的单调性；

（2）根据切点横坐标，代入方程求得切点坐标，结合导数的几何意义即可求得切线方程；联立直线方程与函数解析式，由切线与有且只有一个公共点可知联立后的方程有且仅有一个根，构造函数，并求得导函数，对分类讨论，即可判断函数的单调性和最值，进而求得正数的取值范围．

（1）函数，定义域为，

当时，在上恒成立，在递增；

当时，在上恒成立，在递增；

当时，时，，在递减，

时，，在递增；

当时，时，，在递增，

时，，在递减；

综上所述，当时，在递增，在递减；

当时， 在递增；

当时，在递减，在递增．

（2）当时，代入函数解析式可得，则切点坐标为；

代入导函数可得切线的斜率为，

由点斜式可得切线方程为，化简可得，

则整理可得，

令，

由题意可知函数有且只有一个零点，，

1 当时，由，解得.

且当时，，单调递增；

当时，，单调递减．

所以是唯一的极小值点，也是最小值点．

且，故满足题意．

2 当时．由解得，．

（1）当时，，单调递增，又，

所以满足题意．

（2）当时，当，，单调递减，所以．

又存在，所以，

．

在内，存在零点，所以至少有两个零点，不合题意．

当时，在上，，单调递减，所以．

又存在，并注意到，，

，所以在内存在零点，

从而至少有两个零点，不合题意．

综上所述，或．