Question

【题目】已知是椭圆：的左焦点，，是椭圆上的两个相异动点，若中点的横坐标为1，则到直线距离的最小值为______.

Answer 1

【答案】

【解析】

分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，由于同一点对称性设斜率大于0，与椭圆联立求出两根之和，再由的中点的横坐标求出参数之间的关系，由点到直线的距离公式求出到直线 距离．令参数部分为函数，求导，由函数的单调性求出函数的最大值，进而求出到直线的最小值．

解：由题意的方程可得：，

若直线的斜率不存在时，

则由题意可得的方程为：，

这时到直线的距离为2，

当直线的斜率存在且不会为0时，

由题意的对称性设，

设方程为，，，，，

联立直线与椭圆的方程可得：，

整理可得：，

△，

即，，，

因为中点的横坐标为1，

所以，

即

所以到直线的距离

令，，

，

当，，单调递增，

当，，单调递减，

所以时最大，

且，

所以，

故答案为：．